LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

NAMA  : NASHWA RAISA AFKAR 

KELAS : X MIPA 2

ATURAN SINUS

Aturan Sinus (Law of Sines atau Sines Law/Rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan. Jika diberikan segitiga sembarang ABC seperti gambar, maka berlaku persamaan berikut 

Dengan R adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC

ATURAN COSINUS

Aturan Cosinus (Law of Cosines atau Cosines Formula/Rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai cosinusnya.

Pada segitiga ABC diatas, berlaku 

ATURAN LUAS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

Misalkan segitiga ABC, segitiga sembarang seperti gambar berikut :

Dengan demikian, luas segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus berikut apabila diketahui panjang dua sisi segitiga beserta besar sudut pengapitnya.

Luas segitiga juga dapat dihitung bila diketahui panjang satu sisi dan besar tiga sudutnya.

CONTOH SOAL 

1.  Pada △ABC diketahui bahwa <A=30°, BC=6cm dan AC=10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!

Pembahasan:

BC=a dan AC=b

   a      =   b  
Sin A     Sin B

  6       =    10  
Sin30°   Sin B

⇔  Sin B  =  10 x Sin30°  ⇔  Sin B  =  10 x ½   ⇔ Sin B = 5/6

                   6                               6                      

2.  Pada △PQR diketahu besar <P=60°, <R=45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR = p dan PQ = r

menurut aturan sinus      p     =    r        ⇔      8√3     =       r   
                                   Sin P      Sin R             Sin 60°     Sin 45°

  ⇔ r  =   8√3 x Sin 45°  ⇔  r   =   8√3  ½√2     ⇔   r = 8√2 cm
                 Sin  60°                          ½√3

3. Perhatikan  △ABC disamping !

     Berapakah panjang sisi AC?

Pembahasan :

AB=c dan AC=b
besar <C=180° - (75°+ 60°)= 45°

  b       =     c  
Sin B      Sin C

  b        =    20  
Sin 60°     Sin 45°

b  =   20 x Sin 60°  =  20 x  ½√3
             Sin 45°               ½√2

b  = 20√3  x  √2    =  10√6cm

        √2         √2

4. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm, c = 12 cm,          besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!

Pembahasan : 

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

b2 = 100+144 – 44 cos 60̊

b2 = 244 – 44(0,5)

b2 = 244 – 22

b2 = 222

b = 14,8997

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

5. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A,      B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm          dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B!

Pembahasan :

Akan dicari besar sudut B

sin B = (b sin A)/a  

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

6.  Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan                       ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan : 

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

7. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠          ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!

Pembahasan :

L = ½ a t

• Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2. 

8. Luas segitiga ABC 35 = cm2. Jika panjang AB = 10 cm, panjang BC = 14 cm maka besar        sudut B sama dengan ….

Pembahasan : 

c = AB = 10 cm a = BC = 14 cm

L   = 0,5 ac sin B

35 = 0,5 .14.10 sin B

35 = 70 sin B

sin B = 35/70 

         = 0,5

Sudut B = 30o

9. Pada jajaran genjang ABCD, panjang AB = 8 cm, BC = 10 cm. Jika sudut BAD =                      60o maka luas jajarang genjang adalah …

Pembahasan : 

AD = BC = 10 cm

10. Luas segi enam beraturan yang panjang sisinya 20 cm adalah …

Pembahasan : 

Daftar Pustaka :

Sukardi. 2019, 19 Juli. "Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri". https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aturan-sinus-aturan-cosinus-dan-luas-segitiga-dalam-trigonometri/. (13.20)

Kusumastuti, Diah. 2017, 28 April. "Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga". https://www.edukasi.site/2017/04/aturan-sinus-cosinus-dan-luas-segitiga.html. (14.30)

Nisa, 2021, 11 September. "Aturan Sinus dan Cosinus: Rumus & Contoh Soal" https://rumuspintar.com/aturan-sinus-cosinus/. (15.20)

Super Matematika. "Trigonometri Luas Segitiga". https://supermatematika.com/trigonometri-luas-segitiga. (14.00)

KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

NAMA  : NASHWA RAISA AFKAR

KELAS : X MIPA 2

            KOORDINAT KUTUB            

      Sistem koordinat kutub dalam suatu bidang terdiri dari satu titik tetap O yang disebut titik asal atau titik kutub dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal tersebut, yang disebut dengan sumbu kutub. Dalam koordinat kutub, setiap titik P dinyatakan dalam pasangan (r, θ), di mana r adalah jarak titik P ke titik asal, dan θ adalah sudut dari sumbu kutub ke garis OP. Bilangan r disebut koordinat radial dan q disebut koordinat angular atau sudut kutub dari P. Sudut dinyatakan dalam angka positif jika diukur berlawanan jarum jam dan dinyatakan dengan angka negatif jika diukur searah jarum jam.

Beberapa contoh koordinat kutub :

Beberapa koordinat kutub ini menyatakan posisi titik yang sama:

          KOORDINAT KARTESIUS         

      Koordinat kartesius merupakan sistem yang menetapkan setiap titik di dalam bidang dengan serangkaian koordinat numerik yang bisa ditentukan jaraknya dari kedua sumbu x dan y. Simpelnya, koordinat kartesius itu digunakan untuk menentukan posisi titik pada bidang koordinat. Seperti ini ilustrasi dari diagram kartesius berikut ini:

Dari ilustrasi di atas, dapat di lihat bahwa garis mendatar ke kiri-kanan disebut x, sedangkan garis vertikal ke atas-bawah disebut y. Jadi, titik tersebut terletak pada (6,4) dengan titik tumpuannya adalah 0.

HUBUNGAN ANTARA KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat Cartesius dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa koordinat cartesius ditujukan titik P (x,y) dan koordinat kutub P(r,ϑ) dan bisa ditentukan dengan rumus:

Jika diketahui koordinat cartesius P(x,y), maka koordinat kutub bisa ditentukan dengan rumus:

Untuk mengkonversi koordinat kutub ke dalam koordinat cartesius digunakan rumus:

Jika diketahui koordinat cartesius P(r,ϑ), maka koordinat kutubnya dapat dinyatakan dengan rumus:

---- Contoh Soal ----

1. Jika diketahui titik-titik koordinat sebagai berikut:    

    a. P (4,4)
    b. P (6,1200)
    Ubahlah menjadi koordinat cartesius atau koordinat kutub!
    Penyelesaian : 
    a. Diketahui koordinat cartesius P (4,4), maka digunakan rumus dan                            perhitungannya sebagai berikut
   
     Jadi, koordinat kutub dari p (4,4) = (4√2, 45°)

     b. Diketahui koordinat kutub P (6,1200), maka perhitungannya adalah    

       Jadi, koordinat cartesius dari P (6,1200) = (-3, 3√3)

2. Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°) maka koordinat kartesiusnya adlah...

     Penyelesaian :

     r = 6√3,   α = 60°

     (Karena α sudut di kuadran I, maka x positif dan y positif)

     

    

    Jadi, koordinat kartesiusnya = (3√3, 9)

3. Koordinat titik (-4,4) adalah ...

    Penyelesaian : 

    x = -4,   y = 4

    (Karena x negatif dan y positif, maka α dikuadran II)

     Karena α sudut di kuadran II, maka : α (180 - 45)° = 135°

    Jadi, koordinat kutubnya = ( 4√2, 135°)

4. Koordinat kutub titik (4, 150°) maka koordinat kartesiusnya adalah....

    Penyelesaian : 

    r = 4,   α = 150°

    (Karena α sudut di kuadran II, maka maka x negatif dan y positif)

   

 

    

     Jadi koordinat kartesiusnya = (-2√3, 2)

Daftar pustaka :

mahirmatematika.com, "Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Serta Cara Konversi dengan Mudah", 20 Juli 2019. <https://mahirmatematika.com/koordinat-cartesius-dan-koordinat-kutub-serta-cara-konversi-dengan-mudah/> [Diakses, 12 Januaru 2022]

siswatekunbelajar.blogspot.com, "Konversi Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub Matematika", 26 Oktober 2019. <https://siswatekunbelajar.blogspot.com/2019/10/konversi-koordinat-cartesius-dan.html> [Diakses, 12 Januari 2022]

www.zenius.net, "Koordinat Kartesius: Matematika Kelas 8", 22 Maret 2021. <https://www.zenius.net/blog/koordinat-kartesius-matematika-kelas-8> [Diakses, 12 Januari 2022]

qedems.wordpress.com, "Soal 89 Koordinat Kutub – Koordinat Kartesius", 18 Maret 2010 <https://qedems.wordpress.com/2010/03/18/soal-89/> [Diakses ,12 Januari 2022]

qedems.wordpress.com, "Soal 90 Koordinat Kutub – Koordinat Kartesius", 18 Maret 2010. <https://qedems.wordpress.com/2010/03/18/soal-90/> [Diakses, 12 januari 2022]

qedems.wordpress.com, "Soal 91 Koordinat Kutub – Koordinat Kartesius", 18 Maret 2010. <https://qedems.wordpress.com/2010/03/18/soal-91/> [Diakses, 12 januari 2022]

qedems.wordpress.com, "Soal 92 Koordinat Kutub – Koordinat Kartesius", 18 Maret 2010. <https://qedems.wordpress.com/2010/03/18/soal-92/> [Diakses, 12 Januari 2022]

IDENTITAS TRIGONOMETRI

NAMA : NASHWA RAISA AFKAR

KELAS : X MIPA 2

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = “tiga sudut” dan metron = “mengukur”) adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

Dilansir dari Top Shelf: Trigonometry (2003) oleh Joseph Caruso dan Bryan Sullivan, identitas trigonometri merupakan suatu relasi yang melibatkan fungsi trigonometri yang berlaku untuk semua nilai sudut yang didefinisikan fungsinya.

• Identitas trigonometri berguna untuk :

1. menyederhakan persamaan yang rumit
2. menuliskan suatu fungsi dalam bentuk fungsi lainnya
3. membuktikan identitas lain
4. menyelesaikan persamaan trigonometri.

Rumus – Rumus yang perlu dipahami

1. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

2. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

3. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

---- Contoh Soal ----

1. Jika tan -5/12 dengan 90° < A < 180°, tentukan nilai berikut :

    a. Sec A

    b. Sin A

    Penyelesaian : 

    a. Dengan menggunakan identitas phytagoras, diperoleh 

        

     

        Oleh karena 90° < A < 180°, maka terletak dikuadran II, sehingga sec A = -13/12

    b. Dengan menggunakan identitas kebalikan, diperoleh

    

        Selanjutnya, dengan menggunakan identitas perbandingan, diperoleh 

        

2. Diketahui cos A - sin A = 7/5. Nilai dari cos A + sin A = ....

    penyelesaian : 

   

 

Membuktikan Kebenaran Identitas Trigonometri

    Cara membuktikannya adalah dengan menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan sebelumnya. Ada tiga cara yang dapat digunakan dalam pembuktian kebenaran yaitu sebagai berikut :

1. Ruas kiri diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kanan.
2. Ruas kanan diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kiri.
3. Ruas kiri dan kanan diubah bentuk menjadi bentuk lain sehingga kedua bentuk hasil pengubahan tersebut tepat sama. 

---- Contoh Soal ----

1. Buktikan identitas berikut 

    a. sin α. cos α. tan α = (1 - cos α)(1 + cos α) 

    b. sin β. tan β + cos β = sec β

    Pembahasan :

    a. Ubah bentuk ruas kiri

       

     Jadi, terbukti bahwa ⇒ sin α. cos α. tan α = (1 - cos α)(1 + cos α) 

    

    b. Ubah bentuk ruas kiri 

         

      jadi, terbukti bahwa ⇒ sin β. tan β + cos β = sec β

2. Buktikan bahwa sec² α (1 - cos² α) = tan² α

    Penyelesaian : 

    Ubah bentuk ruas kiri 

     Jadi terbukti bahwa ⇒ sec² α (1 - cos² α) = tan² α

3. Buktikan bahwa sin² α + sin² α cos² α + cos4 α = 1

    Pembahasan : 

    Ubah bentuk ruas kiri 

   Jadi, terbukti bahwa ⇒ sin² α + sin² α cos² α + cos4 α = 1

Daftar Pustaka :

www.dosenpendidikan.co.id, "Identitas trigonometri", 11 Januari 2022. <https://www.dosenpendidikan.co.id/identitas-trigonometri/> [Diakses, 12 Januari 2022]

www.kompas.com, "Rumus Identitas Trigonometri",  28 Oktober 2020. <https://www.kompas.com/skola/read/2020/10/28/161024869/rumus-identitas-trigonometri> [Diakses, 12 Januari 2022]

docplayer.info, "IDENTITAS TRIGONOMETRI. Tujuan Pembelajaran", <https://docplayer.info/57106011-Identitas-trigonometri-tujuan-pembelajaran.html> [Diakses, 12 Januari 2022]