LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

NAMA  : NASHWA RAISA AFKAR 

KELAS : X MIPA 2

ATURAN SINUS

Aturan Sinus (Law of Sines atau Sines Law/Rule) adalah teorema berupa persamaan yang menghubungkan nilai sinus sudut dalam segitiga dengan panjang sisi di depannya dalam bentuk perbandingan. Jika diberikan segitiga sembarang ABC seperti gambar, maka berlaku persamaan berikut 

Dengan R adalah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC

ATURAN COSINUS

Aturan Cosinus (Law of Cosines atau Cosines Formula/Rule) adalah teorema yang digunakan untuk menentukan panjang sisi depan suatu sudut dengan menggunakan hubungan dua panjang sisi pengapit sudut tersebut dan nilai cosinusnya.

Pada segitiga ABC diatas, berlaku 

ATURAN LUAS SEGITIGA DALAM TRIGONOMETRI

Misalkan segitiga ABC, segitiga sembarang seperti gambar berikut :

Dengan demikian, luas segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus berikut apabila diketahui panjang dua sisi segitiga beserta besar sudut pengapitnya.

Luas segitiga juga dapat dihitung bila diketahui panjang satu sisi dan besar tiga sudutnya.

CONTOH SOAL 

1.  Pada △ABC diketahui bahwa <A=30°, BC=6cm dan AC=10cm. Maka tentukanlah nilai dari Sin B!

Pembahasan:

BC=a dan AC=b

   a      =   b  
Sin A     Sin B

  6       =    10  
Sin30°   Sin B

⇔  Sin B  =  10 x Sin30°  ⇔  Sin B  =  10 x ½   ⇔ Sin B = 5/6

                   6                               6                      

2.  Pada △PQR diketahu besar <P=60°, <R=45° dan panjang QR adalah 8√3 cm. Tentukanlah panjang sisi PQ!

Pembahasan :

QR = p dan PQ = r

menurut aturan sinus      p     =    r        ⇔      8√3     =       r   
                                   Sin P      Sin R             Sin 60°     Sin 45°

  ⇔ r  =   8√3 x Sin 45°  ⇔  r   =   8√3  ½√2     ⇔   r = 8√2 cm
                 Sin  60°                          ½√3

3. Perhatikan  △ABC disamping !

     Berapakah panjang sisi AC?

Pembahasan :

AB=c dan AC=b
besar <C=180° - (75°+ 60°)= 45°

  b       =     c  
Sin B      Sin C

  b        =    20  
Sin 60°     Sin 45°

b  =   20 x Sin 60°  =  20 x  ½√3
             Sin 45°               ½√2

b  = 20√3  x  √2    =  10√6cm

        √2         √2

4. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang a = 10 cm, c = 12 cm,          besar sudut B = 60̊. Hitung panjang sisi b!

Pembahasan : 

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

b2 = 100+144 – 44 cos 60̊

b2 = 244 – 44(0,5)

b2 = 244 – 22

b2 = 222

b = 14,8997

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

5. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A,      B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm          dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B!

Pembahasan :

Akan dicari besar sudut B

sin B = (b sin A)/a  

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

6.  Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan                       ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan : 

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

7. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠          ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!

Pembahasan :

L = ½ a t

• Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/BC

t = BC × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC

L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o

L = ½ × 9cm × 12cm × ½

L = 27cm2

• Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka

Sin ∠ABC = t/AB

t = AB × Sin ∠ABC

Sehingga diperoleh

L = ½ a t

L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC

L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o

L = ½ × 12cm × 9cm × ½

L = 27cm2

Jadi,  luas segitiga ABC adalah 27cm2. 

8. Luas segitiga ABC 35 = cm2. Jika panjang AB = 10 cm, panjang BC = 14 cm maka besar        sudut B sama dengan ….

Pembahasan : 

c = AB = 10 cm a = BC = 14 cm

L   = 0,5 ac sin B

35 = 0,5 .14.10 sin B

35 = 70 sin B

sin B = 35/70 

         = 0,5

Sudut B = 30o

9. Pada jajaran genjang ABCD, panjang AB = 8 cm, BC = 10 cm. Jika sudut BAD =                      60o maka luas jajarang genjang adalah …

Pembahasan : 

AD = BC = 10 cm

10. Luas segi enam beraturan yang panjang sisinya 20 cm adalah …

Pembahasan : 

Daftar Pustaka :

Sukardi. 2019, 19 Juli. "Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Cosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri". https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aturan-sinus-aturan-cosinus-dan-luas-segitiga-dalam-trigonometri/. (13.20)

Kusumastuti, Diah. 2017, 28 April. "Aturan Sinus, Cosinus dan Luas Segitiga". https://www.edukasi.site/2017/04/aturan-sinus-cosinus-dan-luas-segitiga.html. (14.30)

Nisa, 2021, 11 September. "Aturan Sinus dan Cosinus: Rumus & Contoh Soal" https://rumuspintar.com/aturan-sinus-cosinus/. (15.20)

Super Matematika. "Trigonometri Luas Segitiga". https://supermatematika.com/trigonometri-luas-segitiga. (14.00)